別冊数理科学 ホログラフィー原理と量子エンタングルメント 2014年 04月号 [雑誌]

量子多体系の量子エンタングルメントはホログラフィー原理で幾何学的に計算でき、熱化現象や相転移、物性物理学への応用がなされています。AｄSシュワルツシルドブラックホール解が２つの共形場理論の積で与えられるのですが、重力理論をテンソルネットワークの手法により量子エンタングルメントの集合体として記述する最新の研究が紹介されています。（参考；ペンローズのツイスター理論ではツイスターが時空を生成し、ループ量子重力理論ではループから時空が生成される）ボルツマンのエントロピーは、考えている物理系が十分大きければシャノンの情報エントロピーと一致します。古典的な系に対するシャノンの情報エントロピーを量子論的に自然に拡張したのがフォンノイマンエントロピーであり、情報エントロピーの確率密度ｐを密度行列ρに置き換えたものと言えます。量子多体系において全体の系を部分系AとBに重複なく分けるとき、エンタングルメントエントロピーは部分系Aの密度行列に対するファイノイマンエントロピーとして定義されます。エンタングルメントエントロピーは、「AとBの量子的相関すなわち量子エンタングルメントの強さを測る量」であり、また、「部分系Bが観測できない場合に生じる情報のあいまいさを情報のエントロピーとして見積もったもの」として解釈されます。エンタングルメントエントロピーは純粋状態では量子エンタングルメントの強さを表しますが、混合状態では古典的相関も寄与するようになるので注意が必要です。エンタングルメントエントロピーを用いて量子相転移の様子を調べることができることは実用的なメリットの一つです。量子多体系は共形場理論を用いて研究されますが、共形場理論についての章では、共形次元、プライマリー場、セントラルチャージ、オンシェル、オフシェル、ワード高橋恒等式などの意味がずばりとわかります。（フランシスコ、マシュー、セネカの900ページもある教科書で勉強して森の中で迷ったようなときに役に立ちます）ホログラフィー原理とは「ｄ＋2次元の重力理論は重力を含まないｄ＋１次元の量子系と物理的に等価であろう」ということであり、AdS/ CFT対応とは「AdS時空は一次元低い空間上の共形場理論と物理的に等価であると期待される」ことです。共形場理論における領域Aを共有しているAdS時空内の曲面のうち面積が最小である「極小曲面」の面積γを重力定数Gの4倍で割ったものが「（時間に依存しない）ホログラフィクなエンタングルメントエントロピーS」となります；S＝γ／4G.時間に依存する場合にはγは極値面積として暫定的に定義されます。ホログラフィックなエンタングルメントエントロピーとは、ブラックホールのエントロピーを大きく一般化したものです.ペンローズ図からAｄSシュワルツシルドブラックホール解が２つの共形場理論の積で与えられることが示されます。相関関数は局所的な相関を見る量なので、系全体が純粋状態なのか混合状態なのかを区別はつきませんが、エンタングルメントエントロピーは純粋状態か混合状態かの区別をすることができるので、絶対零度の系からスタートして系を励起して最終的に有限温度に近づくという熱化現象を調べるのに適しています。熱化現象をAdS/CFT対応によりブラックホールで調べることができます。エンタングルエントロピーをAdS/CFT対応を用いて計算して、強結合量子系への応用をすることができます。閉じ込め－非閉じ込め相転移をホログラフィックなエンタングルメントエントロピーの計算を用いて示すことができます。AdS/CFT対応を金属に対して応用することもでき、ブラックホールで物性物理学を研究できるのです。最後に、重力理論をテンソルネットワークの手法によって量子エンタングルメントの集合体として記述する最新の研究を紹介しています。量子もつれが重力（時空の幾何学）を生み出すなら、量子もつれの非局所性は当然のことなのかもしれません。